All the faces of a cube are painted with blue colour. Then it is cut into 64 small equal cubes. How many small cubes will be formed having no face coloured?

ধরি, মূল ঘনকটির প্রতিটি বাহুকে \(n\) টি সমান অংশে বিভক্ত করা হয়েছে।

ছোট ঘনকের মোট সংখ্যা \( = n^3 \)

প্রশ্নানুসারে,

\( n^3 = 64 \)

\(\implies n = \sqrt[3]{64} \)

\(\implies n = 4 \)

অর্থাৎ, ঘনকটির প্রতি বাহুতে বিভাজন সংখ্যা \(n = 4\)।

যেসব ছোট ঘনকের কোনো তলই রঙ করা নেই (অরঙিন ঘনক), সেগুলো মূল ঘনকের একদম ভেতরের অংশে থাকে।

কোনো রঙ না থাকা ঘনকের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \( (n - 2)^3 \)

এখানে \(n = 4\) বসিয়ে পাই,

অরঙিন ঘনকের সংখ্যা \( = (4 - 2)^3 \)

\( = 2^3 \)

\( = 8 \)

অতএব, কোনো পৃষ্ঠ রঙ না থাকা ছোট ঘনকের সঠিক সংখ্যা হবে ৮ টি।

নোট: প্রদত্ত অপশনগুলোর (4, ৪, 16, 32) মধ্যে সঠিক উত্তর (8) উল্লেখ নেই। তাই প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর অনুপস্থিত।

ঘনক কাটার ক্ষেত্রে প্রতিটি বাহুর বিভাজন সংখ্যা \(n\) হলে:

• ৩ টি তল রঙ করা ঘনক (কোণায় থাকে) \( = 8 \) টি (সবসময় নির্দিষ্ট)
• ২ টি তল রঙ করা ঘনক (ধারে থাকে) \( = 12(n - 2) \) টি
• ১ টি তল রঙ করা ঘনক (পৃষ্ঠে থাকে) \( = 6(n - 2)^2 \) টি
• ০ টি তল রঙ করা বা অরঙিন ঘনক (ভেতরে থাকে) \( = (n - 2)^3 \) টি